Масштабирование

Василий производит товар Икс по технологии $q(l)$, где $q$ — выпуск, а $l$ - единственный фактор производства — труд. Производственная функция возрастает и обладает убывающей предельной производительностью.

Предприниматель реализует товар на конкурентном рынке. Назовем «ценами в экономике» пару $(p,w)$, состоящую из цены продукции и заработной платы.

а) Докажите, что при одновременном увеличении всех цен в экономике в $k>1$ раз прибыль фирмы также увеличивается ровно в $k$ раз.

б) Докажите, что при росте цены продукции в $k>1$ раз и сохранении заработной платы на прежнем уровне прибыль фирмы увеличивается более чем в $k$ раз, если исходная прибыль положительна.

в) Докажите, что при росте заработной платы в $k>1$ раз и сохранении цены продукции на прежнем уровне прибыль фирмы уменьшается менее чем в $k$ раз, если новая прибыль остается положительной.

г) Как в сценариях (а)-(в) изменятся оптимальные объемы нанимаемого труда? Строго докажите.

д) Верно ли, что для любых двух наборов цен $(p_1,w_1)$ и $(p_2,w_2)$ выполняется:

$$\pi\left(\frac{p_1+p_2}{2},\frac{w_1+w_2}{2}\right) \le \frac{\pi(p_1,w_1)+\pi(p_2,w_2)}{2}$$