Взаимодействуем

В IT-стартапе есть три уровня принятия решений:

1. Главный инвестор, который выбирает параметр $\theta\in[0,1]$ — долю выручки проекта, которая будет выплачиваться техническому директору в виде бонуса (остальная часть остаётся инвестору). Назначая долю $\theta$ инвестор несёт административные расходы $\kappa\theta^2$, $\kappa > 0$

2. Технический директор выбирает уровень организационных усилий $e_c\geq 0$ . Его собственные издержки на осуществление такого уровня усилий равны $\frac{1}{4} e_c^4$

3. Разработчки выбирают свой уровень усилий $e_e\ge0$. Издержки разработчиков: $e_e^2$, где $c_e>0$.

Производительность проекта, которая напрямую конвертируется в выручку, зависит от организационных усилий и усилий разработчиков $R(e_c,e_e) = e_c e_e$

Взаимодействие устроено следующим образом:

1. Сначала инвестор выбирает $\theta$, максимизируя свою часть выручки за вычетом издержек

$$(1-\theta)R(e_c,e_e) - \kappa\theta^2$$

2. Потом технический директор выбирает $e_c$ максимизируя

$$\theta R(e_c,e_e) - \frac{1}{4} e_c^4$$

3. Наконец разработчики выбирают свой уровень усилий, максимизируя

$$R(e_c,e_e) - e_e^2$$

На каждом уровне агенты знают параметры, которые были выбраны до них.

(a). Найдите $e_c, e_e, \theta$, которые будут установлены в ходе такого взаимодействия.

(б). Как найденные вами в прошлом пункте параметры зависят от $\kappa$? Проинтерпретируйте полученные зависимости. Почему $e_c, e_e$ тоже зависят от $\kappa$, хотя этот параметр влияет только на решение инвестора?

(в). Пусть теперь $\kappa = \frac{1}{2}$, а за хорошую производительность проекта, т.е. превышение некоторого порогового значения $R(e_c,e_e) \geq \frac{1}{2}$ директор дополнительно получает бонус $w=\frac{1}{9}$ помимо своей доли выручки $\theta R(e_c,e_e)$. Найдите новые равновесные $e_c, e_e, \theta$.

(г). Сравните сумму, которую заплатили директору, и сумму, которую получил инвестор в пунктах (а) и (в). Проинтепретируйте полученные результаты