Равновесие на кольце

В городе построено Городское Центральное Кольцо (ГЦК), имеющее форму окружности длины $1$. В диаметрально противоположных точках кольца расположены две станции техобслуживания: станция $A$ и станция $B$.

Водители равномерно распределены по кольцу. Каждый водитель может обслужиться не более одного раза на одной из станций либо отказаться от обслуживания вовсе. Станции одновременно назначают цены $p_A$ и $p_B$. Предельные издержки обслуживания одной машины равны $c_A$ и $c_B$ соответственно, причём $0 \leqslant c_A < c_B$. Если водитель, находящийся в точке $x$ кольца, обслуживается на станции $i\in\{A,B\}$, его полезность равна

$$U_i(x)=V-p_i-t\,d(x,i),$$

где $V>0$ - базовая полезность обслуживания, $t>0$ - параметр неудобства поездки, $d(x,i)$ - кратчайшее расстояние по кольцу от точки $x$ до станции $i$.

Если водитель отказывается от обслуживания, его полезность равна $0$. Водитель выбирает вариант с максимальной полезностью. Считайте, что параметры $V,t,c_A,c_B$ таковы, что в равновесии Нэша все водители, находящиеся между станциями, предпочитают обслуживаться на одной из станций, а не отказываться от обслуживания.

а) Найдите равновесные цены и прибыли фирм.

б) Какая станция назначает более высокую цену? Какая обслуживает бо́льшую долю водителей?