Работник недели

В Задаче 5 Конкурса РЭШ прошлого года участникам предлагалось объяснить, зачем фирмы используют переходящую систему наград для поощрения своих сотрудников. В этой задаче мы рассмотрим модель конкуренции между работниками за такие премии.

В отделе маркетинга некой компании работают два сотрудника — Юля и Ваня. Каждый из них может придумывать креативную или стандартную рекламу. Один сотрудник не может придумать две рекламы. Создание стандартной рекламы не влечет за собой издержек, в то время как для креативной рекламы необходимо больше усилий. Денежный эквивалент издержек на создание креативной рекламы для Юли равен 20 тысяч рублей, а для Вани (ему сложнее дается нестандартное мышление) — 30 тысяч рублей.

Стандартная реклама всегда приносит компании 20 тысяч рублей, в то время как охват креативной рекламы менее предсказуемый и поэтому креативная реклама с вероятностью 0.7 приносит 60 тысяч рублей, однако с оставшейся вероятностью 0.3 реклама может провалиться и принести лишь 10 тысяч рублей. Вероятности независимы друг от друга, то есть, например, вероятность того, что обе рекламы не провалятся (при создании креативной рекламы Ваней и Юлей) равна $0.7 \cdot 0.7 = 0.49$, вероятность того, что реклама Юли провалится, а реклама Вани — нет, будет равна $0.3 \cdot 0.7 = 0.21$. Аналогично, вероятность того, что реклама Вани провалится, а реклама Юли — нет, будет равна $0.7 \cdot 0.3 = 0.21$, а вероятность того, что обе рекламы провалятся, будет равна $0.3 \cdot 0.3 = 0.09$.

Фирма предлагает премию работнику недели — сотруднику, который принес компании больше всего денег. Размер премии составляет $P$ тысяч рублей, а второй работник получает $L$ тысяч рублей. Если оба работника приносят фирме одинаковую сумму, то премиальный фонд распределяется поровну, то есть каждый сотрудник получает $\frac{P+L}{2}$.

Юля и Ваня максимизируют математическое ожидание своей премии1 минус издержки на создание рекламы. При решении задачи предполагается, что если сотруднику безразлично, создавать креативную рекламу или обычную, он(а) выберет креативную.

а) Пусть $P = 50$, $L = 0$. Какую рекламу (креативную или стандартную) решат создавать Ваня и Юля? Стратегии Вани и Юли должны образовывать равновесие Нэша — ситуацию, при которой Ване не выгодно изменить свой выбор, если Юля не изменит свой, а Юле не выгодно изменить свой выбор, если Ваня не изменит свой.

б) Пусть теперь $P$ и $L$ могут быть любыми, такими, что $P \geq 0$; $0 \leq L < P$. Какую рекламу (креативную или стандартную) решат создавать Ваня и Юля в равновесии Нэша? Ваш ответ может зависеть от $P$ и $L$.

в) Как зависит решение Вани и Юли от значения параметров $P$ и $L$? Становится ли более или менее выгодной создание креативной рекламы для каждого из них при увеличении только $P$ или $L$, а также при их одновременном увеличении на одну и ту же величину? Объясните наблюдаемую зависимость интуитивно.

г) Существуют ли такие значения параметров $P$ и $L$, такие, что $P \geq 0$; $0 \leq L < P$, и при этом Юле и Ване выгодно договориться и отклониться от равновесия Нэша, т. е. производить другой вид рекламы? Почему такое отклонение может не происходить в реальности?

д) Фирма получает доход как от выбранной Юлей рекламы, так и от рекламы Вани. Какие значения $P$ и $L$ выберет руководитель отдела маркетинга, максимизируя ожидаемую прибыль компании, то есть ожидаемый доход от рекламы минус ожидаемые расходы на премии? Чему равняется эта ожидаемая прибыль?

Примечание. Ожидаемые доходы и расходы подсчитываются аналогично: если доходы (расходы) равны $c_1$ с вероятностью $p_1$, $c_2$ с вероятностью $p_2$ и $c_3$ с вероятностью $(1 - p_1 - p_2)$, то ожидаемые доходы (расходы) составят $p_1 \cdot c_1 + p_2 \cdot c_2 + (1 - p_1 - p_2)\cdot c_3$.

1 Если доход равен $P$ с вероятностью $p_1$, $L$ с вероятностью $p_2$ и $(P+L)/2$ с вероятностью $(1 - p_1 - p_2)$, то математическое ожидание дохода (ожидаемый доход) составит $p_1 \cdot P + p_2 \cdot L + (1 - p_1 - p_2)\cdot \frac{P+L}{2}$.