В чём польза брака?

Почему люди женятся? Любовь? А может, экономическая выгода? В этой задаче вам предстоит ответить на этот вопрос с точки зрения экономиста.

У каждого человека есть $T=100$ часов, которые он может распределить между работой в офисе за зарплату и временем дома. Работа в офисе приносит зарплату $w=1$ за каждый час работы, и эти деньги можно потратить на потребление товаров и услуг $C$. Считайте, что уровень цен равен 1. Чем больше времени человек проводит дома, тем чище, уютнее и красивее становится дом. Обозначим «уютность» дома $D$. Если человек проводит дома $t_{h}$ часов, то уютность дома равна $D = 5 t_{h}$.

Интересный факт. Учёба на совместном бакалавриате ВШЭ и РЭШ позволит вам посмотреть на брак и любовь глазами антрополога (а ещё узнать, почему распространяются фейки и откуда берётся блат).

а) Пусть индивид хочет сделать максимальным своё удовлетворение от жизни $U(C, D) = C \cdot D$. Найдите оптимальное индивидуальное распределение времени для человека. Чему будет равна уютность в доме и величина потребления $C$?

б) Как изменятся ваши ответы, если зарплата индивида вырастет до $w=2$? Объясните интуитивно, почему при росте заработной платы распределение времени между работой и домом, а также величина потребления и уютность в доме меняются именно так.

в) Пусть мужчина и женщина с одинаковой зарплатой $w$ размышляют, вступить ли им в брак. Если они вступят в брак, то уютность дома будет общей для мужа и жены. Когда муж проводит дома время $t_{h}$, а жена -- время $t_{w}$, уютность дома равна $D = 10 \min ({t_{h}, t_w})$.Расходы на потребление товаров и услуг у молодожёнов остаются раздельными. При каких значениях $w>0$ молодожёны могут договориться о таком распределении времени, чтобы им было выгодно вступить в брак? Считайте, что если молодожёны договорились о чём-то, они будут следовать договорённости, ведь они любят друг друга :).

г) Как изменится ваш ответ, если зарплаты мужчины и женщины не равны? Покажите математически и объясните интуитивно, как будет зависеть ваш ответ от дохода потенциальных супругов.

д) Пусть теперь зарплата мужа равна $w_m$, зарплата жены равна $w_f$, а уют в доме в случае брака можно определить по формуле $D = a \min ({t_{h}, t_w})$, где $a>0$. Как зависит решение о вступлении в брак от параметра $a$? Объясните эту зависимость интуитивно.}

Примечание. Если $x < y$, то $\min (x, y)=x$. Если $x \geq y$, то $\min (x, y) = y$.