Eco-friendly

В городе Врн компанией «Pirelli» организовано производство автомобильных покрышек. Спрос на покрышки имеет вид $Q_d=100-P+20\beta$, где $P$ – цена покрышек, а коэффициент $\beta$ определяет степень экологичности производства. $\beta = 1$, если производство экологичное, и $\beta = 0$ в ином случае (то есть может принимать только эти два значения). Функция издержек фирмы также зависит от $\beta$ и имеет вид: $TC=(1+\beta)Q^2+100+50\beta$.

1. (10 баллов) «Pirelli» является монополистом на рынке покрышек в городе Врн. Определите, какое $\beta$ выберет фирма, какой объем продукции произведет и какую прибыль получит.
2. (2 балла) Какой размер аккордной субсидии должно выплатить фирме государство, чтобы производство стало экологичным? Считайте, что если фирме безразлично, делать заводы экологичными или нет, она будет делать первое. Государство выплачивает субсидию только тем фирмам, которые заботятся об экологии!
3. (18 баллов) Теперь правительство региона взяло «Pirelli» под свой контроль и само выбирает коэффициент $\beta$. Оно руководствуется интересами общества и максимизирует совокупную функцию полезности $U=\sqrt{\beta}+\pi$, где $\pi$ – прибыль фирмы. Взаимодействие между государством и компанией устроено так: сначала государство выбирает значение $\beta$, а затем фирма выбирает объем производства. Какое значение $\beta$ установит государство?