Гистерезис безработицы

Рассмотрите следующую модель рецессионой экономики.

$\bullet$ Численность экономически активного населения страны (так называемых работников) составляет $1$ миллион человек и не меняется.

$\bullet$ В конце нулевого месяца ($t=0$) безработица находится на своём естественном уровне, равном $u^\ast=5\%$. Естественный уровень безработицы не меняется.

$\bullet$ Экономика переживает спад, поэтому в начале каждого следующего из трёх месяцев ($t=1;2;3$) фирмы увольняют некоторое количество работников, в результате чего уровень безработицы повышается на $1$ процентный пункт по сравнению с концом предыдущего месяца. При этом никто из безработных не получает предложения о трудоустройстве.

$\bullet$ Продуктивность каждого трудоустроенного работника в конце нулевого месяца равна $100$ единиц в месяц, что превышает продуктивность любого безработного в тот же момент времени. Если работник в течение какого-то месяца является безработным, то к концу этого месяца его продуктивность падает в $\alpha=1,25$ раз в силу того, что он не практикуется. Если работник в течение какого-то месяца является трудоустроенным, то за этот месяц его продуктивность не меняется.

$\bullet$ Фактический совокупный выпуск $Y(t)$ в месяце $t$ создаётся только трудоустроенными работниками и определяется как сумма их производительностей. Потенциальный совокупный выпуск $Y^\ast(t)$ в месяце $t$ определяется как общее количество единиц продукции, которое могло бы быть произведено экономикой за месяц $t$, если бы безработица была на своём естественном уровне.

(a) Найдите величины фактического совокупного выпуска $Y(0)$ и $Y(3)$. Определите величину изменения реального выпуска за три месяца с $Y(0)$ до $Y(3)$.

(b) Найдите величину потенциального совокупного выпуска $Y^\ast(0)$. Оцените сверху величину потенциального совокупного выпуска $Y^\ast(3)$ максимально точно.

(c) Оцените величину рецессионного разрыва совокупного выпуска $Y(3)$ от потенциального уровня $Y^\ast(3)$ (в процентах).

(d) Оцените, на сколько процентов за три месяца сократился потенциальный выпуск с $Y^\ast(0)$ до $Y^\ast(3)$ (эффект гистерезиса).

Задача вошла в Олимпиаду Вечерней школы IES 2018-19.

$\$