Памятник Деду Морозу

Под Новый год жители города Дедморозовска решили поставить памятник Деду Морозу. Местный скульптор создал макет памятника высотой $1\ м$, объём макета составил $0,125\ м^3$. Затем Правительство города заказало государственной фирме отлить бронзовую скульптуру той же формы, что и этот макет. Выплавка скульптуры любого размера требует от фирмы фиксированных затрат в размере $2$ млн рублей, остальные затраты – это закупка бронзы. Обычно фирма закупает бронзу по цене $1$ тыс. рублей за $1\ дм^3$, однако для такого праздничного проекта ей удалось выторговать у поставщика скидку $20$ тыс. рублей за каждый дециметр высоты скульптуры.

(a) Как суммарные (общие) затраты фирмы на этот проект зависят от высоты скульптуры $h$?

(b) При какой высоте памятника средние затраты на один дециметр высоты будут минимальны?

(c) Правительство Дедморозовска считает, что оптимальная высота для памятника – $2$ м. Правительство готово полностью компенсировать фирме фиксированные издержки производства, а также уплатить ей некоторую цену $P$ за каждый дециметр высоты скульптуры. Какую цену $P^*$ Правительству следует назначить, чтобы максимизирующая прибыль фирма отлила скульптуру необходимой высоты? Не окажется ли фирма в убытке?