Задача 3 ОЧ-2018 11 класс

В некотором государстве Дзета живут 100 гномов. Гномы любят есть мороженое, спрос на мороженое каждого гнома задается уравнением $q=20-p$, где $q$ - количество мороженого, которое хочет съесть гном за месяц (в килограммах), $p$ - цена на мороженое (в местной валюте, френках).

Мороженое на рынок государства Дзета поставляет единственный поставщик – Мистер Эльфио. Функция издержек на производство мороженого состоит из двух частей: закупка импортного сырья и прочие издержки. Для 1 кг производства мороженого требуется закупить 0.5 кг импортного сырья. Стоимость сырья на мировом рынке составляется 2 уены за кг. Прочие издержки равны $0,004q^2$ френков, где $q$ – количество произведенного мороженного в килограммах.

Мистер Эльфио может продавать мороженое не только на внутреннем рынке, но и на мировом рынке по цене 7 уен за кг мороженого. На мировом рынке по такой цене он может продать произвольное количество мороженого. (При этом импортировать готовый товар ему запрещено введенными ограничениями – Гномы хотят потреблять только отечественные продукты).

Сегодня Мистер Эльфио планирует производство мороженого на следующий месяц. Из-за торговых войн Мистер Эльфио не знает каков будет курс национальной валюты в следующем месяце, но он обязательно должен выбрать объем производства на следующий месяц именно сегодня, изменить его не получится. (Это связано с необходимостью зарезервировать мощности, оформить на таможне ввоз сырья, оплатить электричество, оплатить зарплату и т.д.).

Мистер Эльфио считает, что валютный курс может колебаться и в следующем месяце примет одно из двух значений:

При этом в следующем месяце Мистер Эльфио может продать не весь товар, который был произведен. Хранить товар, а также сырье (в ожидании более выгодных цен) не имеет смысла, поскольку мороженое уже успеет испортиться и его придется утилизировать.

(а) Какое количество мороженого Мистер Эльфио решит производить в следующем месяце, если он максимизирует ожидаемую прибыль, которую получит?

(б) Какое количество товара и на какие рынки будет продано при развитии каждого из сценариев? Какая прибыль будет получена при реализации каждого сценария? Приведите объяснение получившейся ситуации.