Задача 2 ОЧ-2018 11 класс

Кривая производственных возможностей страны $A$ задана соотношением: $x+2y=60$.

КПВ страны $B$: $2x+y=40$. Пусть страны решают торговать друг с другом в пропорции 1:1.

(а) Определите, является ли данная пропорция обмена взаимовыгодной?

(б) Задайте аналитически кривые торговых возможностей обеих стран.

Оказалось, что страна А может «купить» технологический прогресс при производстве товара $x$. За производство технологического прогресса отвечают нейтральные ученые, не живущие в стране А, которые кроме новых технологий ничего производить не могут. КПВ страны А с учетом «купленного» прогресса имеет вид $ax+2y=60,a\in (0,1).$

(в) Задайте аналитически в зависимости от значений параметра a кривые торговых возможностей стран $A$ и $B$.

Предпочтения жителей страны $B$ устроены так, что они любят потреблять только товар $x$.

Обратим свое внимание отдельно на страну $A$. Набор товаров $(x,y)$, который после обмена со страной $B$ находится в распоряжении у страны $A$, хочет купить страна С, не желающая вести дела со страной $B$. Страна $C$ платит стране $A$ 2 у.е. за одну единицу товара $x$ и 3 у.е. за одну единицу товара $y$. Соответственно, выручка страны $A$ имеет вид $u(x,y)=2x+3y.$

Нейтральные ученые работают не бесплатно при производстве технологического прогресса. Суммарная стоимость их работы, которую полностью оплачивают жители страны $A$, если производится прогресс на уровне $a$, равна:

$$\displaystyle \frac{125}{a} +20a - 145 ~~ y.e.$$

(г) Какой уровень прогресса выберут жители страны А, если их цель – максимизация дохода?