Задача 5 ОЧ-2018 10 класс

Города $A$ и $B$ соединяет прямая дорога длиной 10 км. Вдоль всей дороги в двух шагах от нее находятся залежи алмазов, которым нет числа. Алмазы находятся глубоко под землей, и обычные жители городов их не добывают. Спрос на алмазы в каждом городе задается функцией $Q_d = 250 - 2P$, где $Q$ - кол-во штук (не обязательно целое), $P$ - цена в гривнах (не обязательно целое число).

Чтобы разбогатеть, авантюристы - копатель и два караванщика - отправляются в поход за алмазами, добыча которых - нелегкое занятие, и каждый добытый алмаз (1 шт.) обходится в 25 гривен. Копатель может выбрать любое место вдоль дороги для лагеря, где он будет добывать алмазы. Алмазы передаются караванщикам, и те честно везут их в города для продажи, каждый караванщик везет алмазы в свой город. Однако, чтобы отправить один алмаз из лагеря в город, в котором караванщик его продаст, необходимо потратить $s^2$ гривен, где $s$ - расстояние до города в км (не обязательно целое). Копатель и два караванщика максимизируют суммарную прибыль.

а) Какое место выберет копатель для лагеря, какую максимальную прибыль получит команда, сколько алмазов будет отправлено из лагеря? Сколько алмазов будет продано в каждом городе, если издержки связаны только с добычей и транспортировкой? Считайте, что караванщики могут назначать разные цены в городах.

б) В городе $B$ появились разбойники. Пусть они узнали, где копатель собирается разбить лагерь, и хотят ограбить караванщика. Разбойники выбирают ближайшее место для засады, причем доля алмазов, которая достанется им от грабежа описывается функцией $min\{{\frac{S_1}{5}; \frac{S_2}{5}}\}$, где $S_1$ - расстояние от засады до лагеря, $S_2$ - расстояние от засады до ближайшего города. Копатель ничего не знает о разбойниках. Какое место выберут разбойники для засады? Ответьте на вопросы предыдущего пункта. Считайте, что украденные алмазы также учитываются в издержках на перевозку.

в) Пусть копатель тайно узнал, где разбойники собираются устроить засаду. При этом он уже договорился, сколько алмазов передаст каждому караванщику в лагере (как в пункте а)), и не может это изменить. Однако он может изменить место, где будет разбит лагерь. (Если он решит, например, разбить его ближе к месту засады разбойников, то разбойникам может достаться меньше алмазов, чем раньше). Ответьте на вопросы первого пункта.