Задача 3 ОЧ-2018 8 класс

На отдаленном островке в Тихом океане проживает племя Тамагочи. Всех $500$ представителей племени отличает увлечение известной игрой и безграничная общительность. Каждого жителя острова можно удобно идентифицировать по уникальному количеству его виртуальных питомцев: у $i$-того жителя $(i=1,2,\cdot s,500)$ их ровно $i$ штук. К великому счастью Тамагочей недавно на острове наконец появилась первая социальная сеть. Удовольствие, испытываемое $i$-тым жителем от пользования сетью, можно измерить в соответствии с формулой $U_i=i\cdot(n-1)-A$, где $n$ обозначает количество пользователей сети, включая самого $i$-того жителя. В случае отключения от сети удовольствие жителя равно нулю, поскольку он не испытывает мук совести относительно своей интернет-зависимости. В случае, если пользование и не пользование сетью одинаково предпочтительны, житель выбирает первое.

Предположим, жители острова каждое утро независимо друг от друга принимают решение о подключении к сети или отключении от нее. Помимо этого каждое утро они могут наблюдать точное количество пользователей, подключившихся к сети в предыдущие дни. Принимая решение, каждый житель предполагает, что его соплеменники будут действовать так же, как они это делали в прошлом периоде. В день появления сети единственным, кто к ней подключился, был смелый вождь племени $(i=1)$.

(а) Для каждого натурального значения параметра $A$ определите, на какой день после появления сети к ней подключатся все жители острова.

Вскоре после описанных событий на острове появился мессенджер, ничуть не уступающий существующей сети по всем потребительским характеристикам. Мнения жителей разделились: ровно половина отдала предпочтение старой сети, а все остальные прельстились бесплатными стикерами и перешли на пользование новым мессенджером. Соответственно, теперь каждое утро жители независимо друг от друга принимают решение о том, каким способом они будут коммуницировать в этот день, или не будут этого делать вовсе.

(б) Предположим, что $A=0$. Покажите, как будет меняться количество пользователей обеих сетей, начиная с первого дня после появления нового мессенджера.

(в) Исходя из условия задачи, предположите, что экономисты подразумевают под термином {\it{сетевой эффект}}. Приведите пример блага (кроме социальных сетей), в отношении которого может быть применим этот термин. Приведите пример не более двух отрицательных последствий сетевого эффекта для потребителей блага.