Робин Гуд

Неравномерность распределения чего-либо (скажем, доходов) можно измерять по-разному. Наиболее известный способ – с помощью индекса Джини. Но существуют и другие способы количественной оценки неравенства в обществе. Например, индекс Робин Гуда, название которого говорит само за себя: это величина, показывающая, какая (минимально возможная) доля дохода должна быть перераспределена, чтобы достичь абсолютно равномерного распределения доходов. Этот показатель равен максимальному расстоянию по вертикали между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца$^1$.

(а) Чему будет равен индекс Робин Гуда, если кривая Лоренца имеет вид $y = 2 −\sqrt{4 − 3x}$?

(б) Определите, что больше – индекс Робин Гуда или индекс Джини – для кривой Лоренца

$$y = \frac{x^{10}+x^{15}+x^{20}}{3}$$

Учитывая, что кривая Лоренца не может быть выпуклой вверх, верно ли, что неравенство между индексом Робин Гуда и индексом Джини всегда будет выполнено в одну и ту же сторону?

(в) Верно ли, что если в стране A неравенство доходов не сильнее, чем в стране B, согласно индексу Робин Гуда, то и согласно индексу Джини неравенство доходов в стране A также будет не сильнее, чем в B?

$^1$ Кривая Лоренца отвечает на вопрос, какую долю $y \in [0; 1]$ от суммарного дохода всего общества получает вместе взятая доля $x \in [0; 1]$ беднейшего населения.