Задача 4 ОЧ-2015 (10 класс)

Г-н Комиссаренко решил преумножить свое богатство, положив 2 миллиона рублей в банк. Он выбирает между банками «Анжела» и «Виктория», годовые ставки по депозитам в которых составляют 5% и 20% соответственно. Однако с точки зрения рейтинговых агентств эти банки имеют разные категории надежности – А и B. Банк «Анжела» имеет категорию А, банк «Виктория» – категорию В. Банки категории А никогда не нарушают свои обязательства перед вкладчиками. Для банков категории B статистика хуже: в среднем ежегодно 10 из 100 таких банков прекращают платежи. Считайте, что неплатежеспособность банка может выявиться только по итогам первого квартала года, и к этому моменту вкладчик еще не получит никаких процентов, которые ему причитаются, так что в этом случае от его вклада не останется вообще ничего.

1. Рассчитайте ожидаемую сумму$^{*}$, которую г-н Комиссаренко будет иметь через год:

a. Вложив деньги в банк «Анжела»;

b. Вложив деньги в банк «Виктория»;

c. Поровну разделив деньги между банками.

2. На рынке появился третий банк «Светлана», его ставка по вкладу – 10%, а категория надежности – С, означающая, что банк окажется неплатежеспособным с вероятностью 5%.

Как появление нового банка повлияет на решение г-на Комиссаренко о выборе банка, при условии, что он должен положить деньги в один банк?

3. Государство ввело гарантию по банковским вкладам на сумму до 1,4 млн. рублей. Теперь в случае неплатежеспособности банка вкладчик получает сумму вклада в пределах 1,4 миллиона рублей и никаких процентов. А сумма вклада свыше 1,4 млн. рублей теряется, как и раньше. Вкладчик может иметь сколько угодно вкладов в разных банках, и гарантирован будет каждый вклад (главное, чтобы ни в одном банке не было больше 1,4 млн. руб.).

a. Куда при этих новых обстоятельствах, при прочих равных условиях, г-н Комиссаренко будет вкладывать свои 2 миллиона рублей?

b. Привело ли введение государственной гарантии по банковским вкладам к перетоку вкладов из менее надежных, с точки зрения рейтинговых агентств, банков в более надежные?

$^{*}$Под ожидаемой суммой следует понимать математическое ожидание.

Справка

Пусть распределение вероятностей случайной величины Х представлено в таблице:

Математическим ожиданием $(E(X))$ случайной величины X называют число: $E(X)=p_{1}X_{1}+p_{2}X_{2}+...+p_{n}X_{n}.$

Пример. Предположим, вам предлагают сыграть в лотерею, где с вероятностью 110 вы выиграете 100 рублей, с вероятностью 12 вы выиграете 200 рублей, и с вероятностью 25 выиграете 500 рублей. Тогда математическое ожидание денежного выигрыша в этой лотерее равно: $E(X)=110∗100+12∗200+25∗500=10+100+200=310$ рублей.