Задача 3 ОЧ-2015 (11 класс)

В стране Файтклабии производится один единственный товар – мыло. Только две фирмы имеют лицензии на мыловарение в стране: фирма N использует производственную функцию $Y_{N}=L_{N}^{\alpha}$, в то время как производственная функция фирмы $T$ имеет вид $Y_{T} = 2L_{T}^{\alpha}$ , где $L_{i}$ – количество рабочих, работающих на фирме i, $Y_{i}$ – количество мыла, производимого фирмой i за год (i = N,T). Общее количество рабочих в экономике составляет $500$ человек. Вас просят помочь правительству страны в принятии мер по повышению эффективности экономики страны.

1. Сколько человек должны работать на каждом предприятии, чтобы выпуск мыла в стране был максимальным, если $\alpha = 2$?

2. Сколько человек должны работать на каждом предприятии, чтобы выпуск мыла в стране был максимальным, если $\alpha = 0.5$?

3. Предположим, что правительство страны не знает, которая из двух фирм N и T . Поэтому вместо того, чтобы самому распределить трудовые ресурсы между предприятиями, государство решает положиться на "невидимую руку рынка". Предполагая, что $\alpha = 0.5$ и каждая фирма воспринимает цену мыла и заработную плату заданными, найдите равновесное распределение работников между двумя фирмами, а также отношение цены мыла к заработной плате. Сравните выпуск мыла при распределении ресурсов правительством и выпуск мыла в рыночном равновесии.

4. При каких обстоятельствах распределение ресурсов между фирмами может оказаться неэффективным в реальной экономике? Назовите как можно больше причин. Под эффективностью в этом случае понимается эффективное распределение ресурсов, т.е. распределение, максимизирующее суммарный объем производства мыла в экономике.

5. Предположим, что правительство Файтклабии по-прежнему не умеет различать фирмы N и T, более того, знает лишь, что их производственные функции имеют вид $Y_{i} = A_{i}L_{i}^{\alpha}$, где $i = N,T,0 < \alpha < 1$ ($\alpha$ одинаковая для обеих фирм), а производительности $A_{N}$ и $A_{T}$ правительству неизвестны. В своих бюджетных декларациях фирмы честно указывают лишь количество рабочих и количество произведенного мыла. Может ли правительство определить, является ли распределение ресурсов в экономике эффективным, используя лишь эту имеющуюся у него информацию?