Задача 3 ОЧ-2016 (10 класс)

В стране Омега ($\Omega$) продаются подержанные автомобили. Они бывают двух типов: в хорошем состоянии и в плохом состоянии.

Машины в хорошем состоянии, прослужат долго. Каждый продавец готов продать машину в хорошем состоянии не менее чем за 10 тыс. койнов. Покупатели готовы заплатить за хорошую машину не более 12 тыс. койнов.

Также на рынке продаются автомобили в плохом состоянии, которые в скором времени потребуют дорогостоящего ремонта. Каждый продавец готов продать автомобиль в плохом состоянии за 2 тыс. койнов, а покупатель готов купить такой автомобиль за 4 тыс. койнов.

Известно также, что в настоящее время половина продаваемых на рынке автомобилей имеют хорошее качество, а другая половина – плохое.

0. Каким цитрусовым в США называют подержанные автомобили плохого качества?

1. Пусть для начала и продавцы, и покупатели, знают о том, какой продаваемый автомобиль какого качества. По какой цене будут продаваться автомобили каждого вида? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.

2. Теперь пусть ни продавцы, ни покупатели не знают ничего о качестве автомобиля. По какой цене будут продаваться автомобили? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.

3. Наконец, рассмотрим ситуацию, в которой продавец знает, в каком состоянии его автомобиль. К примеру, он знает, что 10 лет назад машина побывала на дне реки. Покупатель же не может

определить, какого качества автомобиль. Какие автомобили будут продаваться и по какой цене? Если существует несколько возможных уровней цен, укажите их все.

Примечание: покупатели и продавцы знают всегда о том, за сколько кто готов продать или купить автомобиль каждого состояния (и доли автомобилей в хорошем и плохом состоянии на рынке). Если же есть неопределенность, какого качества автомобиль, то его оценивают с помощью математического ожидания. Математическим ожиданием мы называем следующую величину: $M(H) = p_1 \cdot S_1 + p_2 \cdot S_2$, где $S_1, S_2$ – значения субъективных оценок автомобилей, а $p_1, p_2$ – вероятность попадания того или иного автомобиля. (Подсказка: в данном случае $p_1 = p_2 = 0,5$)