Как построить стадион

По случаю Чемпионата мира 2018 года футбольный клуб «Забивака» решил построить новый стадион вместо того, на котором он играет сейчас. Спрос на посещение матчей предъявляют две группы болельщиков –– фанаты клуба и просто ценители красивой игры. Фанаты предъявляют спрос при любой игре команды; их функция спроса имеет вид $q_{1}(p)=60-p$, где p –– цена абонемента на посещение матчей в течение сезона, $q_{1}$ –– количество купленных абонементов. Ценители красивой игры предъявляют спрос на абонементы, только если клуб играл красиво в предыдущем сезоне. Красота игры определяется случайными факторами; вероятность красивой игры равна 1/2. Функция спроса второй группы имеет вид $q_{2}(p)=100-p$.Издержки на строительство стадиона вместимости x равны $C=5000+100x$. Клуб принимает решение о вместимости стадиона и тратит деньги на его строительство в начале периода $t=0$ (в будущем достраивать стадион нельзя), а получает выручку от продажи билетов в начале каждого периода $t=1,2 . . .$ (до бесконечности). Клуб максимизирует ожидаемую приведенную стоимость денежного потока, то есть величину

$$-C+\dfrac{0.5TR_{1}+0.5TR_{1+2}}{1+r}+\dfrac{0.5TR_{1}+0.5TR_{1+2}}{(1+r)^2}+\dfrac{0.5TR_{1}+0.5TR_{1+2}}{(1+r)^3}+. . .$$

где $TR_{1}$ –– выручка от продажи абонементов только фанатам, $TR_{1+2}$ –– выручка от продажи билетов как фанатам, так и ценителям красивой игры. Множители 0,5 присутствуют в силу того, что каждый из двух случаев реализуется с вероятностью 1/2. Ставка процента r равна 10 %. Клуб принимает решение о ценах в начале каждого периода, когда уже известно, будут предъявлять спрос ценители красивой игры или нет.

**а) (15 баллов)**Предположим, что фанаты любят смотреть матч только из-за ворот, а ценители красивой игры –– только с центральной трибуны. Клуб может построить каждую трибуну

любой вместимости, а потом назначать разные цены на билеты на разные трибуны. Определите оптимальные цены на билеты абонементов на разные трибуны (на центральную трибуну ––

только для случая, когда на нее есть спрос) и оптимальную вместимость каждой трибуны.

**б) (15 баллов)**Предположим, что клуб решает ту же задачу при условии, что любому зрителю безразлично, откуда смотреть матч, и поэтому проводить ценовую дискриминацию между

фанатами и остальными болельщиками не получится. Клуб назначает единую цену для всех мест

на стадионе. Найдите оптимальную цену абонемента (в зависимости от того, предъявляет спрос

вторая группа или нет), и оптимальную вместимость стадиона.