Мороженое на пляже

Эта задача рассказывает одну из моделей олигополии с неоднородным товаром. Вам предлагается узнать, как фирмы выбирают степень дифференциации товара и назначают цены. Все пункты, кроме предпоследнего, можно решить без знания производной.

Задача довольно сложная. В скобках около каждого пункта указана моя оценка сложности по 5-балльной шкале, где 3 — уровень Всероса

На пляже длиной 1 км (отрезок $[0; 1]$) расположены две палатки с мороженым: в точках с координатами $0 ≤ a < b ≤ 1$. Отдыхающие равномерно занимают весь пляж: их число на любом интервале равно длине этого интервала (если Вас смущает дробное число покупателей, можете считать, что оно измеряется в сотнях или тысячах). День выдался жарким: каждый готов купить ровно 1 мороженое, каким бы дорогим оно не было. По той же причине песок горячий, поэтому люди не любят далеко ходить за мороженым: издержки от ходьбы по горячему песку каждый оценивает в $1 на километр. Несмотря на жару, люди рациональны: каждый отдыхающий покупает мороженое в той палатке, для которой общие издержки (цена плюс ходьба) ниже. Для простоты будем считать, что издержки производства мороженого равны нулю.

1. [3-] Найдите равновесные цены, объемы продаж и прибыли фирм.
2. [3] Лето закончилось, палатки пришлось убрать, и теперь фирмы одновременно решают, где им поставить палатки на следующий сезон. Каждая фирма может выбрать любую точку на отрезке $[0;1]$. После того, как выбор сделан, фирмы снова одновременно выбирают цены (точно так же, как в предыдущем пункте). Найдите равновесие: $a$, $b$, цены и количества.

Подсказка: используя результаты предыдущего пункта, Вы получите ответы достаточно быстро. 3. [2] Государство посчитало цены завышенными, поэтому в третьем сезоне оно зафиксировало цену на уровне $p>0$. Однако расположение палаток фирмы по-прежнему могут выбирать. Изменится ли их выбор? 4. [3] Как Вы думаете, какое расположение палаток (из предыдущих или какое-то другое) было бы оптимальным для общества? Почему? 5. [4] Июль выдался особенно жарким, и песок был настолько горячим, что издержки ходьбы по нему изменились: издержки от ходьбы на расстояние $d$ каждый оценивает в $td^2$, где $t>0$ — параметр. Как изменятся ответы предыдущих пунктов? Объясните интуитивно. В том числе проинтерпретируйте зависимость равновесных цен и прибылей от параметра $t$. Что произойдет, если он упадет до нуля?

Подсказка: при заданных $a$ и $b$ равновесные цены равны $t(b-a)$ умножить на равновесные цены в первом пункте задачи. 6. [5+] Август оказался, наоборот, дождливым: хотя люди по-прежнему любят мороженое, они уже не готовы купить его при слишком высокой цене. Каждый оценивает мороженое в $v$ денежных единиц и готов его купить, только если $p + s≤v$ , где $s$ — расстояние до палатки. Госрегулирование было отменено: как и в пункте (2), фирмы сначала одновременно выбирают расположение, а затем одновременно выбирают цены. Найдите равновесное расположение фирм и цены.

Подсказка: когда Вы будете искать равновесные цены в зависимости от $a$ и $b$, возникнет много случаев. Но если помнить о том, что позже фирмы будут выбирать $a$ и $b$, большинство из них можно отбросить.