Рейтинг RePEc

Рейтинг Research Papers in Economics (RePEc) ранжирует ученых, работающих в экономике и смежных областях, и целые экономические институты (далее будем считать, что ранжируются институты) по количеству и качеству научных публикаций. Общий принцип составления рейтинга выглядит так. Сначала фиксируется набор из $N=31$ критериев. После автоматического сбора и обработки информации о публикациях с помощью специальных алгоритмов по каждому критерию строится свой рейтинг: институт получает то или иное место внутри рассматриваемого региона R (регионом может быть страна, группа стран или весь мир). Затем для каждого института вычисляется среднее гармоническое всех его мест в регионе R по каждому из $N$ критериев, по этой величине институты ранжируются в итоговом рейтинге (чем среднее гармоническое меньше, тем институт выше).

1. Институт X занимает более высокие места в мире, чем институт Y, по каждому критерию. Верно ли, что в итоговом рейтинге X занимает более высокое место в мире, чем Y?
2. В своей стране в итоговом рейтинге институт X занимает более высокое место, чем институт Y. Верно ли, что X занимает более высокое место в мире, чем Y?
3. Посетитель сайта RePEc имеет возможность построить собственный рейтинг, выбрав вместо среднего гармонического другие меры агрегирования мест, в частности, среднее арифметическое. Какие преимущества может иметь использование среднего гармонического перед использованием среднего арифметического?
4. Предположим, что все критерии независимы (то есть продвижение по одному из критериев ранжирования никак не связано с продвижениями по другим критериям). Университет Z находится в той области рейтинга, где его продвижение по каждому из критериев прямо пропорционально количеству вложенных в это направление ресурсов. А именно, если $r_i$ — первоначальная позиция университета Z по критерию $i$, а $m_i$ — вложенные в соответствующее направление деньги, то новое место университета Z будет равно $\hat r_i=\max\{r_i-m_i; 1\}$. Университет планирует потратить некоторую сумму денег $M>0$ на свое продвижение в рейтинге.

Для простоты считайте, что любые суммы денег (в том числе потраченные на продвижение по отдельным критериям) могут измеряться только целыми числами.

Как нужно потратить сумму $M$, чтобы добиться наилучшего прогресса?