Феодал и крестьянин

В некоторой стране есть два экономических агента — Феодал и Крестьянин. Урожай крестьянина ($Y$) зависит как от его усилий ($e$), так и от природных факторов ($Z$, где $0 < Z < 1$): $Y=e+Z$. Жизнь Крестьянина нелегка. Во-первых, труд его тяжел: свои издержки на уровень усилий $e$ Крестьянин оценивает в $e^2/2$ единиц урожая. Во-вторых, Феодал изымает у Крестьянина в виде оброка долю $t$ урожая, причем эту ставку Феодал устанавливает так, чтобы максимизировать физический объем урожая, который он получит. Крестьянин же максимизирует количество остающегося у него урожая за вычетом издержек на усилия, то есть величину $U=(1-t)Y-e^2/2$.

Более детально процесс взаимодействия Феодала и Крестьянина во времени выглядит так:

I. Оба узнают значение $Z$;

II. Феодал назначает ставку оброка $t$;

III. Зная ставку оброка, Крестьянин выбирает уровень усилий $e$;

IV. Крестьянин трудится, прилагая выбранный уровень усилий $e$, и долю $t$ урожая отдает Феодалу.

Оба агента «сотрудничают» давно и знают, какую именно целевую функцию максимизирует каждый из них.

а) Найдите выбираемую Феодалом ставку оброка $t^*$ и выбираемый Крестьянином уровень усилий $e^*$ как функции от природных условий $Z$. Возрастают или убывают функции $t^*(Z)$ и $e^*(Z)$? Поясните интуитивно.

б) Верно ли, что чем благоприятнее природные условия, тем крестьянину будет лучше? Если Ваш ответ «нет», то из-за чего возникает такой «парадоксальный» результат? Кроме того, если Ваш ответ «нет», найдите значение $Z$, при котором $U$ максимально.