Счастливые часы

Сеть кафе «У Аристарха» имеет сотни заведений по всему городу. Владелец сети, Аристарх, заметил, что в разное время дня разное количество посетителей хотят заказать фирменное блюдо его ресторанов. Все рестораны открываются в 12 часов, и если одна порция стоит $p$ рублей, в первый час работы посетители покупают $q=132-p$ тыс. порций во всей сети. В последний час работы кафе (с 21 до 22 часов) посетители заказывают $q=141-p$ тыс. порций. Аристарх вывел следующую зависимость купленных порций от цены и времени: если в период с $t$ до $t+1$ часов ($t$ — целые числа от 12 до 21) цена составляет $p$ рублей за порцию, то общее количество купленных порций за это время составляет $q=120+t-p$ тыс. Производство одной порции стоит 40 рублей, владелец сети старается сделать так, чтобы прибыль (разница между его доходами и расходами) за день работы была максимальной. Считайте, что кроме фирменного блюда в кафе ничего не продается.

а) Какую цену нужно установить Аристарху, если он не хочет менять ее в течение дня?

б) Сын Аристарха, Ксенофонт, предложил папе ввести в его ресторанах «счастливые часы»: назначать одну цену на фирменное блюдо утром (с открытия до $X$ часов) и другую цену вечером (с $X$ часов до закрытия). «Счастливыми часами» называется тот период, когда цена ниже. Не проводя расчетов, объясните, в какое время (в первой части дня или во второй) Аристарху нужно устроить «счастливые часы», и предположите, в какую сторону утренняя и вечерняя цена будет отличаться от цены в пункте а). Приведите содержательное объяснение, почему прибыль при такой политике может увеличиться.

в) Рассчитайте оптимальную длину счастливых часов.