Всё по P рублей!

21 февраля вы решали задачу «99 цен», в которой получалось, что магазин поставит на товар с номером $i$ цену $p_i=1000/i$ рублей. Напомним условие:

В магазине продаются 99 разных товаров. Магазин закупает товар $i$ ($i=1, 2, \ldots, 99$) по цене $500/i$ рублей. Если магазин назначит цену $p$ на товар $i$, покупатели купят $i/p^2$ единиц этого товара. Магазин стремится получить максимальную прибыль (разницу между своими доходами и своими расходами на закупку) от перепродажи товаров. Допустим, магазин может назначать на товары любые цены. Какую цену он назначит на~товар с номером $i$?

Сегодня вам предлагается проанализировать в рамках того же условия несколько новых ценовых политик. Мы будем говорить, что какая-то ценовая политика \emph{выгодна}, если она не уменьшает общую прибыль магазина по сравнению со случаем, который был рассмотрен вами 21 февраля.

Находясь на отдыхе за границей, владелец магазина увидел там необычные супермаркеты, в которых все товары продавались по одной и той же цене, и решил сделать у себя то же самое, не меняя ассортимент продаваемых товаров. Владелец рассчитывает, что необычная ценовая политика привлечет новых покупателей, в результате чего при цене $p$ в магазине купят не $i/p^2$ единиц, а $K\cdot i/p^2$ единиц товара $i$, где $K\ge 1$.

а) Допустим, $K=1$. Докажите, что «политика одной цены» не будет выгодна магазину.

б) Обозначим за $K^\star$ минимальное значение $K$, при котором «политика одной цены» выгодна владельцу магазина. Для каждого $K\geqslant K^\star$ найдите цену $P$, которую он назначит на все товары. Будут ли среди продаваемых товаров такие, цена на которые для потребителей будет ниже, чем цена закупки для мага\nна? Если да, укажите их номера.

в) Рассмотрим теперь «политику двух цен», то есть политику, при которой на каждый из товаров назначена либо цена $P_1$, либо цена $P_2$. Пусть спрос на каждый товар такой же, как при политике одной цены. Обозначим за $K^{\star\star}$ минимальное значение $K$, при котором «политика двух цен» выгодна владельцу магазина. Основываясь на экономической интуиции и не проводя расчетов, сравните $K^\star$ и $K^{\star\star}$.