Фирма, самолет, менеджер

Компания «Elppa» собирается нанять топ-менеджера. В собственности фирмы есть небольшой частный самолет, который предназначен для передвижения менеджера по служебным надобностям. Менеджер, однако, может злоупотреблять служебным положением и использовать самолет в личных целях, что создает для компании дополнительные затраты.

Если менеджер не согласится работать в фирме «Elppa», ее прибыль будет равна нулю. Если менеджер согласится на работу и не будет пользоваться самолетом компании в личных целях, то ее прибыль (до выплаты зарплаты менеджера) составит 800, если будет — всего лишь 162. Владельцы фирмы не могут наблюдать действия менеджера и не знают, как прибыль зависит от использования самолета, поэтому не могут запретить менеджеру использовать самолет в личных целях. Менеджер, в отличие от владельцев фирмы, знает, как прибыль фирмы зависит от использования самолета.

Пусть $w\ge 0$ — зарплата менеджера, а $j$ — переменная, равная 1, если менеджер использует самолет в личных целях, и 0 в противном случае. Менеджер выбирает свои действия так, чтобы значение величины $U=0,1\sqrt{w}+j$ было наибольшим. Обладая редким талантом, менеджер всегда может уйти работать в конкурирующую компанию «Gnusmas». Условия работы у конкурентов соответствуют $U=2$. Считайте, что менеджер благожелателен к фирме «Elppa»: если ему безразлично, на какой фирме работать, то он соглашается на работу в «Elppa»; если ему безразлично, использовать самолет или нет, то он не использует самолет.

а) Допустим, зарплата менеджера не зависит от прибыли фирмы (и при этом такова, что менеджеру выгодно согласиться работать в фирме). Будет ли он использовать самолет в личных целях?

б) Допустим, зарплата менеджера равна некой доле $\alpha$ от прибыли фирмы ($0<\alpha<1$). При каком минимальном значении $\alpha$ менеджер согласится работать в фирме и не будет использовать самолет в личных целях? Что выгоднее для фирмы — предлагать менеджеру фиксированную зарплату (как в пункте а)) или найденную вами в этом пункте долю $\alpha$ от прибыли?

в) Допустим, согласно контракту, зарплата менеджера равна $w_1$, если прибыль фирмы равна 800, и $w_2$, если прибыль фирмы равна 162. Существуют ли произвольные значения $w_1$ и $w_2$ такие, что контракт $(w_1, w_2)$ более выгоден для фирмы, чем контракт, согласно которому менеджеру выплачивается доля от прибыли фирмы, найденная вами в б)?