Ноттингем-1

Ноттингем, XII век. В городе есть две группы жителей: бедные и богатые. Счастье любого человека в городе можно рассчитать по формуле $H=Y-x^2/2$, где $H$ — счастье человека, $Y$ — его доход (с учетом перераспределительной политики, о политике см. ниже), а $x$ — уровень усилий, который человек прикладывает для получения этого дохода. Вся разница между бедными и богатыми заключается в том, что, приложив уровень усилий $x$, бедный человек зарабатывает $V \times x$ ден. ед., а богатый — $W \times x$ ден. ед., где $W>V$. В каждой группе ровно по $N$ человек. Каждый агент выбирает свой уровень усилий так, чтобы его счастье было максимальным.

Свергнув Принца Джона, к власти в городе пришел Робин Гуд. Естественно, он решил отбирать у богатых долю $t$ дохода, и затем всю сумму сборов передавать бедным. Агенты выбирают уровни усилий, зная о проводимой Робином политике.

(12 баллов) Рассчитайте суммарный уровень дохода в обществе после введения налога. Покажите, что суммарный уровень дохода сокращается с ростом ставки налога, несмотря на то, что сумма, которую уплачивают богатые, в точности равна сумме, которую получают бедные. Объясните данный парадокс.

(8 баллов) Пусть $V=\sqrt{2}$, $W=3$. Какую ставку налога установит Робин Гуд, стремясь к минимальному неравенству доходов, то есть минимизируя коэффициент Джини? На сколько ден. ед. уменьшится суммарный доход в результате проведения такой политики?